Question

2．已知直線y=kx與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于點(diǎn)P和Q，點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2k，0），若△PAQ是直角三角形，求∠POA的度數(shù)．

Answer 1

分析 先求得交點(diǎn)P（1，k），Q（-1，-k），①當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理求得OP=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，然后根據(jù)余弦函數(shù)即可求得k的值，從而求得∠POA的度數(shù)．②當(dāng)∠PAQ=90°時(shí)，
作PC⊥OA于C，QD⊥x軸于D，證得△APC∽△QAD，得出$\frac{k}{2k+1}$=$\frac{2k-1}{k}$，解得k=$\sqrt{3}$，根據(jù)正切函數(shù)即可求得∠POA的度數(shù)．

解答 解：①當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，如圖1，
∵直線y=kx與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于點(diǎn)P和Q，
∴解$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=k}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-k}\end{array}\right.$，
∴P（1，k），Q（-1，-k），
∴OP=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∵cos∠POA=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{2k}$，
解得，k=1，
∴cos∠POA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠POA=45°；
②當(dāng)∠PAQ=90°時(shí)，如圖2，
作PC⊥OA于C，QD⊥x軸于D，
∵∠PAO+∠QAD=90°，∠APC+∠PAC=90°，
∴∠QAD=∠APC，
∴△APC∽△QAD，
∴$\frac{PC}{AD}$=$\frac{AC}{DQ}$，
∵P（1，k），Q（-1，-k），
∴$\frac{k}{2k+1}$=$\frac{2k-1}{k}$，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴P（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴tan∠POA=$\frac{PC}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠POA=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角函數(shù)等，分類討論是解題的關(guān)鍵．