Question

如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．

（1）求證：∠APB=∠BPH；

（2）當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解:（1）∵PE=BE，

∴EBP=EPB．

又∵EPH=EBC=90°，

∴EPH-EPB=EBC-EBP．

即PBC=BPH．

又∵AD∥BC，

∴APB=PBC．

∴APB=BPH．

（2）△PHD的周長不變，為定值 8．

證明：過B作BQ⊥PH，垂足為Q．

由（1）知APB=BPH，

又∵A=BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP．

∴AP=QP, AB=BQ．

又∵ AB=BC，

∴BC = BQ．

又∵C=BQH=90°，BH=BH，

∴△BCH≌△BQH．

∴CH=QH．

∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.

（3）過F作FM⊥AB，垂足為M，則.

又EF為折痕，

∴EF⊥BP.

∴，

∴．

又∵A=EMF=90°，

∴△EFM≌△BPA．

∴=x．

∴在Rt△APE中，．

解得，．

∴．

又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，

∴．

即：．

配方得，，∴當(dāng)x=2時，S有最小值6．