Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝4，點C是弧AB上的一動點（不與A，B重合），過點B作⊙O的切線交AC的延長線于點D，點E是BD的中點，連接EC．

（1）若BD＝8，求線段AC的長度；

（2）求證：EC是⊙O的切線；

（3）當∠D＝30°時，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）AC＝；（2）見解析；（3）4﹣

【解析】

（1）連接BC，如圖，連接BC，根據切線的性質得到∠ABD＝90°，根據勾股定理得到AD＝＝4，根據三角形的面積公式和勾股定理即可得到結論；

（2）連接OC，OE，由E是BD的中點，可得CE＝BE，證明△OCE≌△OBE，得∠OCE＝∠OBE＝90°，則結論得證；

（3）陰影部分的面積即為四邊形OBED的面積減去扇形COB的面積．

解：（1）如圖，連接BC，

∵BD是⊙O的切線，

∴∠ABD＝90°，

∵AB＝4，BD＝8，

∴AD＝＝4，

∵AB為⊙O的直徑，

∴BC⊥AD，

∴BC＝＝＝，

∴AC＝＝；

（2）連接OC，OE，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△BDC中，

∵BE＝ED，

∴DE＝EC＝BE，

∵OC＝OB，OE＝OE，

∴△OCE≌△OBE（SSS），

∴∠OCE＝∠OBE，

∵BD是⊙O的切線，

∴∠ABD＝90°，

∴∠OCE＝∠ABD＝90°，

∵OC為半徑，

∴EC是⊙O的切線；

（3）∵OA＝OB，BE＝DE，

∴AD∥OE，

∴∠D＝∠OEB，

∵∠D＝30°，

∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，

∴∠BOC＝120°，

∵AB＝4，

∴OB＝2，

∴BE＝2．

∴四邊形OBEC的面積為2S△OBE＝2××2×2＝4，

∴陰影部分面積為S四邊形OBEC﹣S扇形BOC＝4﹣＝4﹣．