Question

16．（1）先化簡，再求值：$\frac{1}{x}$÷（$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-x}$-$\frac{2}{x-1}$）+$\frac{1}{x+1}$，其中x=2^-1-2016⁰
（2）閱讀理解
【提出問題】已知$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{3}$=$\frac{z}{2}$=k，求分式$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy-yz}$的值．
【分析問題】本題已知條件是連等式，因此可用設(shè)參數(shù)法，即設(shè)出參數(shù)k，得出x，y，z與k的關(guān)系，然后再代入待求的分式化簡即可．
【解決問題】設(shè)$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{3}$=$\frac{z}{2}$=k，則x=4k，y=3k，z=2k，將它們分別代入$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy-xz}$中并化簡，可得分式$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy-xz}$的值為$\frac{25}{4}$．
【拓展應(yīng)用】已知$\frac{x}{3}$=-$\frac{y}{2}$=$\frac{z}{4}$，求分式$\frac{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}{{y}^{2}+4yz+4{z}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再求出x的值代入進行計算即可；
（2）【解決問題】把x=4k，y=3k，z=2k代入進行計算即可；
【拓展應(yīng)用】令$\frac{x}{3}$=-$\frac{y}{2}$=$\frac{z}{4}$=k，則x=3k，y=-2k，z=4k，再代入分式進行計算即可．

解答 解：（1）原式=$\frac{1}{x}$÷$\frac{{x}^{2}+1-2x}{x（x-1）}$+$\frac{1}{x+1}$
=$\frac{1}{x}$÷$\frac{（x-1）^{2}}{x（x-1）}$+$\frac{1}{x+1}$
=$\frac{1}{x}$÷$\frac{x-1}{x}$+$\frac{1}{x+1}$
=$\frac{1}{x}$•$\frac{x}{x-1}$+$\frac{1}{x+1}$
=$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x+1}$
=$\frac{x+1+x-1}{（x-1）（x+1）}$
=$\frac{2x}{（x-1）（x+1）}$，
當(dāng)x=2^-1-2016⁰=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$時，原式=$\frac{2×（-\frac{1}{2}）}{（-\frac{1}{2}-1）（-\frac{1}{2}+1）}$=$\frac{-1}{（-\frac{3}{2}）×\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{3}$．

（2）【解決問題】把x=4k，y=3k，z=2k代入得，
原式=$\frac{16{k}^{2}+9{k}^{2}}{12{k}^{2}-8{k}^{2}}$=$\frac{25{k}^{2}}{4{k}^{2}}$=$\frac{25}{4}$．
故答案為：$\frac{25}{4}$；
【拓展應(yīng)用】令$\frac{x}{3}$=-$\frac{y}{2}$=$\frac{z}{4}$=k，則x=3k，y=-2k，z=4k，
原式=$\frac{（x-y）^{2}}{（y+2z）^{2}}$=$\frac{（3k+2k）^{2}}{（-2k+8k）^{2}}$=$\frac{25{k}^{2}}{36{k}^{2}}$=$\frac{25}{36}$．

點評 本題考查的是分式的化簡求值，在解答此類題目時要注意，當(dāng)條件是連等式，因此可用設(shè)參數(shù)法，即設(shè)出參數(shù)k，得出x，y，z與k的關(guān)系，然后再代入待求的分式化簡即可．