Question

4．探究與應(yīng)用
（1）問題
如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，AD=BP，∠A=∠B=∠DPC=90°，求證：△ADP≌△BPC．
（2）探究
如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，AD=BP，∠A=∠B=∠DPC=θ時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．
（3）應(yīng)用請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗解決問題：
圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=BP=5，且滿足∠A=∠DPC，求DC的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP≌△BPC；
（2）如圖2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（3）如圖3，過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=3，根據(jù)勾股定理可得DE=4，由題可得DC=DE=4．

解答 解：（1）∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
在△ADP與△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{∠ADP=∠BPC}\\{AD=PB}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△BPC；
（2）結(jié)論AD•BC=AP•BP仍然成立．理由：
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP；
（3）過點D作DE⊥AB于點E．

∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3．
由勾股定理可得DE=4．
∴DC=DE=4．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP≌△BPC．