Question

定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內點．如圖1，PH＝PJ，PI＝PG，則點P就是四邊形ABCD的準內點．

(1)如圖2，∠AFD與∠DEC的角平分線FP，EP相交于點P．

求證：點P是四邊形ABCD的準內點．

(2)分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準內點．(作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明)

(3)判斷下列命題的真假，在括號內填“真”或“假”．

①任意凸四邊形一定存在準內點．(　　)

②任意凸四邊形一定只有一個準內點．(　　)

③若P是任意凸四邊形ABCD的準內點，則PA＋PB＝PC＋PD或PA＋PC＝PB＋PD．(　　)

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖2，過點P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD， 　　∵EP平分∠DEC，∴PJ＝PH　　3分 　　同理PG＝PI　　1分 　　∴P是四邊形ABCD的準內點　　1分 　　(2) 　　4分 　　平行四邊形對角線AC，BD的交點P1就是準內點，如圖3(1)． 　　或者取平行四邊形兩對邊中點連線的交點P1就是準內點，如圖3(2)； 　　梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點P2就是準內點．如圖4． 　　(3)真；真；假　　3分 　　(各1分，若出現(xiàn)打“√”“×”或寫“對”“錯”同樣給分．)