Question

18．如圖1，在正方形ABCD中，E．F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G．
（1）求證：AE⊥BF；
（2）將△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF（如圖2），延長(zhǎng)FP到BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值；
（3）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積．

Answer 1

分析 （1）只要證明Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），即可推出∠BAE=∠CBF，由∠BAE+∠BEA=90°，推出∠CBF+∠BEA=90°，推出∠BGE=90°；
（2）首先證明QF=QB，設(shè)PF=k，則PB=2k，在Rt△BPQ中，設(shè)BQ=x，可得x²=（x-k）²+4k²，推出x=$\frac{5}{2}$k，根據(jù)sin∠BQP=$\frac{BP}{QB}$計(jì)算即可．
（3）由GN∥HM，推出△AGN∽△AHN，推出$\frac{{S}_{△AGN}}{{S}_{△AHM}}$=（$\frac{AN}{AM}$）²，推出$\frac{{S}_{△AGN}}{1}$=（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²，推出S_△AGN=$\frac{4}{5}$，根據(jù)四邊形GHMN的面積=S_△AHM-S_△AGN計(jì)算即可．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，
∴CF=BE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．

（2）解：如圖2中，

由題意，F(xiàn)P=FC，∠FPB=∠C=90°，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，設(shè)PF=k，則PB=2k，
在Rt△BPQ中，設(shè)BQ=x，
∴x²=（x-k）²+4k²，
∴x=$\frac{5}{2}$k，
∴sin∠BQP=$\frac{BP}{QB}$=$\frac{2k}{\frac{5}{2}k}$=$\frac{4}{5}$．

（3）如圖3中，

∵正方形ABCD的面積為4，
∴邊長(zhǎng)為2，
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴△AGN∽△AHN，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{{S}_{△AHM}}$=（$\frac{AN}{AM}$）²，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{1}$=（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²，
∴S_△AGN=$\frac{4}{5}$，
∴四邊形GHMN的面積=S_△AHM-S_△AGN=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．