Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為24厘米，∠A＝60°，質(zhì)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線路ABBD作勻速運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)Q從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)沿線路DCCBBA作勻速運(yùn)動(dòng)．

(1)求BD的長(zhǎng)；

(2)已知質(zhì)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的速度分別為4厘米/秒、5厘米/秒，經(jīng)過12秒后，P、Q分別到達(dá)M、N兩點(diǎn)，若按角的大小進(jìn)行分類，請(qǐng)你確定△AMN是哪一類三角形，并說明理由；

(3)設(shè)題(2)中的質(zhì)點(diǎn)P、Q分別從M、N同時(shí)沿原路返回，質(zhì)點(diǎn)P的速度不變，質(zhì)點(diǎn)Q的速度改變?yōu)閍厘米/秒，經(jīng)過3秒后，P、Q分別到達(dá)E、F兩點(diǎn)，若△BEF與題(2)中的△AMN相似，試求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)菱形ABCD中，AB=AD，∠A=，∴△ABD是等邊三角形．∴BD=24厘米 　　(2)△AMN是直角三角形，確定理由如下：12秒后，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M走過的路程為4×12=48(厘米)，∵AB+BD=48厘米， ∴點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N走過的路程為5×12=60(厘米)，∵DC＋CB+AB=60厘米 　　∴點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，連結(jié)MN，∵AM=MB，AN=BN 　　∴MN⊥AB，∴△AMN是直角三角形 　　(3)點(diǎn)P從M點(diǎn)返回3秒走過的路程為4×3=12(厘米)，∵BD=12厘米 　　∴點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q從N點(diǎn)返回3秒走過的路程為3a厘米，∵△BEF與題(2)中的Rt△AMN相似，又∠EBF=∠A=，①若∠BFE=∠ANM=． 　　(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)F在BN上時(shí)，BF=BN－FN=12－3a，(法1)∵△BEF∽△AMN 　　∴，∴，解得a=2；(法2)在Rt△BEF中．∠BEF＝，∴BF=BE．∴12－3a=×12，解得a=2 　　(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，BF＝3a－BN=3a－12，(法1)∵△BEF∽△AMN．∴，∴，解得a=6；(法2)在Rt△BEF中，∠BEF=，∴BF=BE，∴3a－12=×12，解得a=6；②若∠BEF=∠ANM=，即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合．此時(shí)3a=BN=+BC=36，∴3a=36，∴a=12．綜上所述，a=2或6或12．