Question

3．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=120，BC=6cm，線段AB垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN=2cm．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建等腰三角形ABM和直角三角形AMC，由等腰△ABC和∠A=120得兩底角為30°，再由垂直平分線的性質(zhì)得AM=BM，從而依次求得∠MAB=30°和∠MAC=90°，根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半及中位線定理的推論得AM=BM=MN=NC，則可知所求的MN=$\frac{1}{3}$BC，代入得結(jié)論．

解答 解：如圖，連接AM，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵M(jìn)E是線段AB的垂直平分線，
∴AM=BM，
∴∠MAB=∠B=30°，
∴∠MAC=∠BAC-∠MAB=120°-30°=90°，
在Rt△MAC中，∠C=30°，
∴MC=2AM，
∵FN是AC的垂直平分線，
∴∠NFC=90°，AF=FC，
∴∠NFC=∠MAC=90°，
∴AM∥FN，
∴MN=NC=$\frac{1}{2}$MC，
∴AM=BM=MN=NC，
∴MN=$\frac{1}{3}$BC，
∵BC=6cm，
∴MN=2cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、判定及線段垂直平分線的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形和垂直平分線的性質(zhì)，如果已知中有垂直平分線，則考慮利用垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等進(jìn)行證明或連接輔助線；本題還利用了中位線的推論：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊，或利用平行線分線段成比例定理得出MN=NC，使問題得以解決．