Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖）中，已知點A的坐標(biāo)為（3，1），點B的坐標(biāo)為（6，5），點C的坐標(biāo)為（0，5）；某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、點B與點C．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）假如點Q在該函數(shù)圖象的對稱軸上，且△ACQ是等腰三角形，直接寫出點Q的坐標(biāo)；
（3）如果第一象限內(nèi)的點P在（1）中求出的二次函數(shù)的圖象上，且tan∠PCA=$\frac{1}{2}$，求∠PCB的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；
（2）利用拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=3，再計算出AC=5，討論：當(dāng)AQ=AC=5時，以A為圓心，5為半徑畫弧，與直線x=3的交點即為Q點；當(dāng)CQ=CA=5時，點Q與點A關(guān)于直線BC對稱，利用對稱性可確定此時Q點的坐標(biāo)；當(dāng)QA=QC時，設(shè)Q（3，t），利用兩點間的距離公式得到（t-1）²=3²+（t-5）²，然后解方程求出t即可得到此時Q點坐標(biāo)；
（3）PC交直線x=3于M，BC交直線x=3于H，作MN⊥AC于N，如圖2，先證明Rt△AMN∽Rt△ACH，利用相似比得到$\frac{MN}{3}$=$\frac{AN}{4}$=$\frac{AM}{5}$，則可設(shè)MN=3k，AN=4k，AM=5k，再利用tan∠MCN=$\frac{MN}{CN}$=$\frac{1}{2}$得到CN=6k，所以10k=5，解得k=$\frac{1}{2}$，則AM=$\frac{5}{2}$，所以HM=$\frac{3}{2}$，然后在Rt△CHM中利用勾股定理計算出CM后利用正弦的定義求解即可．

解答 解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
把A（3，1），B（6，5），C（0，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=1}\\{36a+6b+c=5}\\{c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{9}}\\{b=-\frac{8}{3}}\\{c=5}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x+5；

（2）如圖1，
∵點B與點C為拋物線上的對應(yīng)點，
∴拋物線的對稱軸為直線x=3，點A為拋物線的頂點，
∵C（0，5），A（3，1），
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+（1-5）^{2}}$=5，
當(dāng)AQ=AC=5時，點Q的坐標(biāo)為（3，6）或（3，-4）；
當(dāng)CQ=CA=5時，點Q與點A關(guān)于直線BC對稱，則Q點的坐標(biāo)為（3，9）；
當(dāng)QA=QC時，設(shè)Q（3，t），則（t-1）²=3²+（t-5）²，解得t=$\frac{33}{8}$，則Q點坐標(biāo)為（3，$\frac{33}{8}$）；
綜上所述，滿足條件的Q點的坐標(biāo)為（3，6）或（3，-4）或（3，9）或（3，$\frac{33}{8}$）；

（3）PC交直線x=3于M，BC交直線x=3于H，作MN⊥AC于N，如圖2，
易得CH=3，AH=4，AC=5，
∵∠MAN=∠CAH，
∴Rt△AMN∽Rt△ACH，
∴$\frac{MN}{CH}$=$\frac{AN}{AH}$=$\frac{AM}{AC}$，即$\frac{MN}{3}$=$\frac{AN}{4}$=$\frac{AM}{5}$，
設(shè)MN=3k，則AN=4k，AM=5k，
在Rt△CMN中，∵tan∠MCN=$\frac{MN}{CN}$=$\frac{1}{2}$，
∴CN=6k，
∴CA=6k+4k=10k，
∴10k=5，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{5}{2}$，
∴HM=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
在Rt△CHM中，CM=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠HCM=$\frac{HM}{CM}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即∠PCB的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的判定；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；能利用相似比表示線段之間的關(guān)系，會解直角三角形；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式；靈活應(yīng)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．