Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)(-1,0)、(3,0)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.

1.求拋物線解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

2.如圖，過點(diǎn)E作BC平行線，交軸于點(diǎn)F，在不添加線和字母情況下，圖中面積相等的三角形有：             ．

3.將拋物線向下平移，與軸交于點(diǎn)M、N，與軸的正半軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為Q.在四邊形MNQP中滿足S_△NPQ = S_△MNP，求此時直線PN的解析式

 

Answer 1

 

1.將(-1,0)、(3,0)代入的得到，，

∴拋物線的解析式為，即.

∴ 拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）．-------------------------3分

2.△BCF與△BCE              -------------------------1分

3.將拋物線向下平移，則頂點(diǎn)Q在對稱軸上，有，------1分

∴ 拋物線的解析式為（）．

∴ 此時，拋物線與軸的交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為．

∵ 方程的兩個根為，，

∴ 此時，拋物線與軸的交點(diǎn)為，．

如圖，過點(diǎn)Q作QG∥PN與軸交于點(diǎn)G，連接NG，則S_△PNG= S_△PNQ．

∵ S_△NPQ = S_△MNP,

∴S_△MNP = S_△PNG．              -------------------------1分

∴ ．

設(shè)對稱軸與軸交于點(diǎn)，

則．

由QG∥PN，得．

∴ Rt△QDG ∽ Rt△PON．有．

∴ ．結(jié)合題意，解得．

∴ 點(diǎn)，．

設(shè)直線PN的解析式為y=mx+n，將P， N兩點(diǎn)代入，得到

直線PN的解析式為 ； --------3分

解析:（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入到拋物線方程中，求出它的解析式；

（2）  利用同底等高的兩個三角形面積相等這個性質(zhì)；

過Q點(diǎn)作QG∥PN與X軸交于點(diǎn)G，連接NG,利用等量代換推出S_△MNP= S_△PNG．得出DG的長，利用Rt△QDG ∽Rt△PON求出P、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線PN的解析式。