Question

【題目】已知：如圖，直線y=kx+2與x軸正半軸相交于A（t，0），與y軸相交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A和點B，點C在第三象象限內，且AC⊥AB，tan∠ACB=．

（1）當t=1時，求拋物線的表達式；

（2）試用含t的代數式表示點C的坐標；

（3）如果點C在這條拋物線的對稱軸上，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為y=﹣x2﹣x+2；（2）點C的坐標為（t﹣4，﹣2t）；

（3）t=4﹣．

【解析】試題分析：（1）把點A（1，0），B（0，2）分別代入拋物線的表達式，解方程組即可；

（2）如圖：作CH⊥x軸，垂足為點H，根據△AOB∽△CHA，得到，根據tan∠ACB==，得到=，根據OA=t，得到點C的坐標為（t-4，-2t）．

（3）根據點C（t-4，-2t）在拋物線y=-x2+bx+c的對稱軸上，得到t-4=，即b=2t-8，把點A（t，0）、B（0，2）代入拋物線的表達式，得-t2+bt+2=0，可知t2+（2t-8）t+2=0，即t2-8t+2=0，據此即可求出t的值．

試題解析：

（1）∵t=1，y=kx+2，

∴A（1，0），B（0，2），

把點A（1，0），B（0，2）分別代入拋物線的表達式，得 ，

解得 ，

∴所求拋物線的表達式為y=﹣x2﹣x+2．

（2）如圖：作CH⊥x軸，垂足為點H，得∠AHC=∠AOB=90°，

∵AC⊥AB，

∴∠OAB+∠CAH=90°，

又∵∠CAH+∠ACH=90°，

∴∠OAB=∠ACH，

∴△AOB∽△CHA，

∴，

∵tan∠ACB==，

∴=，

∵OA=t，OB=2，

∴CH=2t，AH=4，

∴點C的坐標為（t﹣4，﹣2t）．

（3）∵點C（t﹣4，﹣2t）在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸上，

∴t﹣4=，即b=2t﹣8，

把點A（t，0）、B（0，2）代入拋物線的表達式，得﹣t2+bt+2=0，

∴﹣t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，

解得t=4+，

∵點C（t﹣4，﹣2t）在第三象限，

∴t=4+不符合題意，舍去，

∴t=4﹣．