Question

如圖，平面直角坐標系中，點A、B分別為x軸和y軸正半軸上的點，設A（a，0），B（0，b），過A、B及原點O作圓，圓心為M．
（1）若a=5，b=12，求圓心M的坐標；
（2）若a、b是關于x的一元二次方程x²-2x+m+1=0的兩個實數根，求圓M的半徑r的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題,根的判別式,根與系數的關系,不等式的性質,解一元一次不等式組,垂徑定理

專題：綜合題

分析：（1）過點M作MD⊥x軸于D，過點M作ME⊥y軸于E，如圖1，運用垂徑定理就可解決問題．
（2）連接AB，如圖2，可得AB是⊙M的直徑．由a＞0，b＞0即可得到a+b＞0，ab＞0，然后根據根的判別式及根與系數的關系就可求出m的范圍，就可解決問題．

解答：解：（1）過點M作MD⊥x軸于D，過點M作ME⊥y軸于E，如圖1．

∵a=5，b=12，
∴OA=5，OB=12．
根據垂徑定理可得：OD=AD=

1

2

OA=

5

2

，OE=BE=

1

2

OB=6，
∴圓心M的坐標為（

5

2

，6）．

（2）連接AB，如圖2．

∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙M的直徑．
∵點A、B分別為x軸和y軸正半軸上的點，∴a＞0，b＞0．
∵a、b是關于x的一元二次方程x²-2x+m+1=0的兩個實數根，
∴

(-2)2-4(m+1)≥0 a+b=2＞0 ab=m+1＞0

，
解得：-1＜m≤0．
在Rt△AOB中，
∵AB²=OA²+OB²，AB=2r，OA=a，OB=b，
∴（2r）²=a²+b²
=（a+b）²-2ab
=4-2（m+1）
=2-2m．
∵-1＜m≤0，
∴0≤-2m＜2，
∴2≤2-2m＜4，
∴2≤4r²＜4，
∴

1

2

≤r²＜1，
∵r＞0，
∴

2

2

≤r＜1．
∴圓M的半徑r的取值范圍是

2

2

≤r＜1．

點評：本題主要考查了垂徑定理、根的判別式、根與系數的關系、解一元一次不等式組、不等式的性質、完全平方公式、勾股定理等知識，有一定的綜合性，而運用根的判別式及根與系數的關系是解決第（2）小題的關鍵．