Question

【題目】如圖1，在平面直徑坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）．B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）直接寫(xiě)出拋物線的函數(shù)解析式；

（2）以O(shè)C為半徑的⊙O與y軸的正半軸交于點(diǎn)E，若弦CD過(guò)AB的中點(diǎn)M，試求出DC的長(zhǎng)；

（3）將拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度（如圖2）若動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在平移后的拋物線上，且點(diǎn)P在第三象限，請(qǐng)求出△PDE的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出△PDE面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）S△PDE=（＜x＜0），且△PDE面積的最大值為．

【解析】（1）將點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）代入中，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式為．

（2）令中x=0，則y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．

∵A（﹣3，0），B（1，0），點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，∴M（﹣1，0），∴CM==．

∵CE為⊙O的直徑，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴，∴DC=．

（3）將拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為=，令中y=0，即，解得：=，=．

∵點(diǎn)P在第三象限，∴＜x＜0．

過(guò)點(diǎn)P作PP′⊥y軸于點(diǎn)P′，過(guò)點(diǎn)D作DD′⊥y軸于點(diǎn)D′，如圖所示．

在Rt△CDE中，CD=，CE=4，∴DE==，sin∠DCE==，在Rt△CDD′中，CD=，∠CD′D=90°，∴DD′=CDsin∠DCE=，CD′==，OD′=CD′﹣OC=，∴D（，），D′（0，），∵P（x，），∴P′（0，），∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′=DD′ED′+（DD′+PP′）D′P′﹣PP′EP′=（＜x＜0），∵S△PDE==，＜＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，S△PDE取最大值，最大值為．

故：△PDE的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為S△PDE=（＜x＜0），且△PDE面積的最大值為．