Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，E是BC的中點(diǎn)，連接AE、AC．

(1)點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)，連接EF，交AC于點(diǎn)O(如圖1)，求證：△AOE∽△COF；

(2)若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接BD，交AE與點(diǎn)G(如圖2)，求證：四邊形EFDG是菱形．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC＝2AD 　　∴EC＝BE＝BC＝AD；又∵AD∥DC 　　∴四邊形AECD為平行四邊形　2分 　　∴AE∥DC；∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO 　　∴△AOE∽△COF　4分 　　(2)證明：連接DE 　　∵DE平行且等于BE 　　∴四邊形ABED是平行四邊形 　　又∠ABE＝90°∴□ABED是矩形 　　∴GE＝GA＝GB＝GD＝BD＝AE　6分 　　∴E、F分別是BC、CD的中點(diǎn) 　　∴EF、GE是△CBD的兩條中線(xiàn) 　　∴EF＝BD＝GD，GE＝CD＝DF　8分 　　又GE＝GD∴EF＝GD＝GE＝DF 　　∴四邊形EFDG是菱形　10分