Question

13．如圖．在△ACB中，CD，BE為高，CD，BE相交于N點(diǎn)．
（1）求證：AD•BD=DN•DC；
（2）若CD=AD，∠ACB=60°，求$\frac{BN+BC}{AC}$；
（3）若CD=AB，M為AB的中點(diǎn)，求$\frac{MN+DN}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，只要證明△BDN∽△CDA即可．
（2）如圖2中，連接AN，設(shè)EN=a，則CE=a，AN=2a，AE=EB=$\sqrt{3}$a，想辦法用a表示BN、BC，即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3中，設(shè)AD=a，BD=b，則AB=CD=a+b，用a、b表示DN、MN，求出MN+DN即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDN=∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DNB=90°，
∴∠A=∠BND，
∴△BDN∽△CDA，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{DN}{AD}$，
∴AD•DB=DN•DC．
（2）解：如圖2中，連接AN．

∵AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∵∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠EAB=45°，
∴∠DBN=∠DNB=45°，
∴DN=DB，
在△ADN和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADN=∠CDB}\\{DN=DB}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△CDB，
∴∠DAN=∠DCB=∠ACB-∠ACD=60°-45°=15°，
∴∠EAN=30°，設(shè)EN=a，則CE=a，AN=2a，AE=EB=$\sqrt{3}$a，
∴BN=$\sqrt{3}$a-a，BC=2EC=2a，
∴BN+BC=$\sqrt{3}$a-a+2a=$\sqrt{3}$a+a，AC=$\sqrt{3}$a+a，
∴$\frac{BN+BC}{AC}$=1．
（3）解：如圖3中，設(shè)AD=a，BD=b，則AB=CD=a+b，
∵AD•DB=DN•DC，
∴DN=$\frac{ab}{a+b}$，DM=BM-DB=$\frac{a+b}{2}-b$=$\frac{a-b}{2}$，
在RT△MND中，MN=$\sqrt{D{M}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{a-b}{2}）^{2}+（\frac{ab}{a+b}）^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2（a+b）}$，
∴NM+DN=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2（a+b）}$+$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{a+b}{2}$=$\frac{AB}{2}$，
∴$\frac{MN+DN}{AB}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是巧妙利用參數(shù)，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決，學(xué)會(huì)這種數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中考�？碱}型．