Question

8．如圖，Rt△ABC，∠BAC=90°，D，E分別為AB，BC的中點，點F在CA的延長線上，∠FDA=∠B．
（1）求證：AF=DE；
（2）若AC═6，BC=10，求四邊形AEDF的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形中位線定理、直角三角形的性質證明四邊形DEAF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質證明；
（2）由（1）的結論計算即可．

解答 （1）證明：∵D，E分別為AB，BC的中點，
∴DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠BAC=90°，E為BC的中點，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B，又∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠EAB，
∴EA∥DF，
∴四邊形DEAF是平行四邊形，
∴AF=DE；
（2）解：∵∠BAC=90°，E為BC的中點，
∴EA=$\frac{1}{2}$BC=5，
∵D，E分別為AB，BC的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴四邊形AEDF的周長=2×（3+5）=16．

點評 本題考查的是三角形中位線定理的應用、平行四邊形的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．