Question

如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，已知O是AC的中點，AE=CF，DF∥BE．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=

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AC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),矩形的判定

專題：證明題

分析：（1）由DF與BE平行，得到兩對內(nèi)錯角相等，再由O為AC的中點，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得證；
（2）若OD=

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AC，則四邊形ABCD為矩形，理由為：由OD=

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AC，得到OB=

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2

AC，即OD=OA=OC=OB，利用對角線互相平分且相等的四邊形為矩形即可得證．

解答：（1）證明：∵DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O為AC的中點，
∴OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，

∠FDO=∠EBO ∠DFO=∠BEO OE=OF

，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；

（2）若OD=

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AC，則四邊形ABCD是矩形，理由為：
證明：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
∵OD=

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2

AC，
∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC，
∴四邊形ABCD為矩形．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．