Question

14．現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD（如圖），其中AB=4cm，BC=6cm，點E是BC的中點．實施操作：將紙片沿直線AE折疊，使點B落在矩形ABCD內(nèi)，記為點B′．
（1）求證：∠BB′C=90°；       
（2）求B′C的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出BE=B′E，BB′⊥AE，BF=B′F，由點是BC的中點可得出BE=EC=B′E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°以及∠BB′C=∠BB′E+∠EB′C，即可得出∠BB′C=90°；
（2）根據(jù)勾股定理求出AE的長度，再利用三角形的面積求出BF的長度，從而得出BB′的長度，在Rt△BB′C中利用勾股定理即可求出B′C的長度．

解答 解：（1）證明：由折疊可知：BE=B′E，BB′⊥AE，BF=B′F．
∵點E是BC的中點，
∴BE=EC=B′E，
∴∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C，
又∵∠BB′C+∠B′CB+∠CBB′=180°，∠BB′C=∠BB′E+∠EB′C，
∴∠BB′E=$\frac{1}{2}$（∠BB′E+∠EB′C+∠B′CB+∠CBB′）=90°．
（2）∵在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，點E是BC的中點，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=3，∠ABE=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=5，BF=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{12}{5}$，BB′=2BF=$\frac{24}{5}$．
∵∠BB′C=90°，
∴B′C=$\sqrt{B{C}^{2}-BB{′}^{2}}$=$\frac{18}{5}$．

點評 本題考查了翻折變換中折疊問題、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)角的計算找出∠BB′E=$\frac{1}{2}$（∠BB′E+∠EB′C+∠B′CB+∠CBB′）=90°；（2）求出BB′的長度，再利用勾股定理求出B′C的長度．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)翻折變換找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．