Question

16．已知關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}{k}^{2}$+1=0有兩個實(shí)數(shù)根．
（1）求k得取值范圍；
（2）若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x₁、x₂，且滿足|x₁|+|x₂|=4x₁x₂-5，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程有兩個實(shí)數(shù)根可得△=（k-1）²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）≥0，解不等式可得k的范圍；
（2）由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=k+1＞0、x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1＞0，根據(jù)|x₁|+|x₂|=4x₁x₂-5可得k+1=4（$\frac{1}{4}$k²+1）-5，解方程結(jié)合k的取值范圍可得k的值．

解答 解：（1）∵原方程有兩個實(shí)數(shù)根，
∴△=（k-1）²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3≥0
解得：k≥$\frac{3}{2}$；
（2）∵k≥$\frac{3}{2}$，
∴x₁+x₂=k+1＞0．
又∵x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴|x₁|+|x₂|=x₁+x₂=k+1．
∵|x₁|+|x₂|=4x₁x₂-5，
∴k+1=4（$\frac{1}{4}$k²+1）-5，
∴k²-k-2=0，
∴k₁=-1，k₂=2，
又∵k≥$\frac{3}{2}$，
∴k=2．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac及韋達(dá)定理的應(yīng)用．當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程沒有實(shí)數(shù)根．