Question

6．如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F，連接EF，若AB=3，AD=4，則△BCF的周長(zhǎng)為（　　）

• A． $\frac{13}{3}$
• B． $\frac{25}{3}$
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于M，交BF于N，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=90°，AD=BC，AE=BM=$\frac{1}{2}$AD=2，由折疊的性質(zhì)得到AE=GE=2，∠EGN=∠A=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NG=NM，根據(jù)勾股定理得到EN=$\frac{13}{6}$，NM=$\frac{5}{6}$，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CF=2NM=$\frac{5}{3}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，
∴四邊形ABME是矩形，
∴AE=BM=$\frac{1}{2}$AD=2，
由折疊的性質(zhì)得：AE=GE=2，∠EGN=∠A=90°，
∴EG=BM=2，
∵∠ENG=∠BNM，
在△ENG與△BNM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EGN=∠BMN=90°}\\{∠ENG=∠BNM}\\{EG=BM}\end{array}\right.$
∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG=NM，
∴EN²=NG²+EG²，
∴EN²=2²+（3-EN）²，
∴EN=$\frac{13}{6}$，
∴BN=EN=$\frac{13}{6}$，
∴NM=$\frac{5}{6}$，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=ED=BM=CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF=BM：CM，
∴BF=2BN=$\frac{13}{3}$，
∴CF=2NM=$\frac{5}{3}$，
∴△BCF的周長(zhǎng)=10，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．