Question

1．如圖，O為坐標原點，點C在x軸的正半軸上，四邊形OABC是平行四邊形，∠AOC=45°，OA=2，反比例函數y=$\frac{k}{x}$在第一現象內的圖象經過點A，與BC交于點D．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）若點D的縱坐標為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求直線AD的解析式．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥x軸于點H，根據等腰三角形性質及三角函數可求得點A的坐標，從而可得反比例函數解析式；
（2）由反比例函數解析式及點D的縱坐標可得D的坐標，結合點A的坐標，待定系數法可求得直線AD解析式．

解答 解：（1）如圖，作AH⊥x軸于點H，

∵OA=2，∠AOH=45°，
∴OH=AH=OAsin∠AOH=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
即A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
又∵點A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）在y=$\frac{m}{x}$圖象上，
∴m=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∴反比例函數解析式是y=$\frac{2}{x}$；

（2）∵點D的縱坐標為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且點D在雙曲線y=$\frac{2}{x}$上，
∴其橫坐標為2$\sqrt{2}$，即D（2$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
設直線AD解析式為：y=kx+b，
將點A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）、D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}k+b=\sqrt{2}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}k+b=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到反比例函數圖象上點的坐標特點及用待定系數法求反比例函數的解析式，根據題意作出輔助線，構造出等腰直角三角形，求出A、D點坐標是解答此題的關鍵．