Question

如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，連接AC，拋物線經(jīng)過A，B兩點。

（1）求A點坐標(biāo)及線段AB的長；

（2）若點P由點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿AB邊向點B移動，1秒后點Q也由點A出發(fā)以每秒7個單位的速度沿AO，OC，CB邊向點B移動，當(dāng)其中一個點到達終點時另一個點也停止移動，點P的移動時間為t秒。

①當(dāng)PQ⊥AC時，求t的值；

②當(dāng)PQ∥AC時，對于拋物線對稱軸上一點H，∠HOQ＞∠POQ，求點H的縱坐標(biāo)的取值范圍。

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題。

解答：解：（1）由拋物線知：當(dāng)x=0時，y=﹣2，

∴A（0，﹣2）。

由于四邊形OABC是矩形，所以AB∥x軸，即A、B的縱坐標(biāo)相同；

當(dāng)時，，解得，

∴B（4，﹣2），

∴AB=4。

（2）①由題意知：A點移動路程為AP=t，

Q點移動路程為。

當(dāng)Q點在OA上時，即，時，

如圖1，若PQ⊥AC，則有Rt△QAP∽Rt△ABC。

∴，即，

∴。

∵，

∴此時t值不合題意。

當(dāng)Q點在OC上時，即，時，

如圖2，過Q點作QD⊥AB。

∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9。

∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t。

若PQ⊥AC，則有Rt△QDP∽Rt△ABC，

∴，即，

∴。

∵，

∴符合題意。

當(dāng)Q點在BC上時，即，時，

如圖3，若PQ⊥AC，過Q點作QG∥AC，

則QG⊥PG，即∠GQP=90°。

∴∠QPB＞90°，這與△QPB的內(nèi)角和為180°矛盾，

此時PQ不與AC垂直。

綜上所述，當(dāng)時，有PQ⊥AC。

②當(dāng)PQ∥AC時，如圖4，△BPQ∽△BAC，

∴，

∴，

解得t=2，即當(dāng)t=2時，PQ∥AC。

此時AP=2，BQ=CQ=1，

∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。

拋物線對稱軸的解析式為x=2，

當(dāng)H₁為對稱軸與OP的交點時，

有∠H₁OQ=∠POQ，

∴當(dāng)y_H＜﹣2時，∠HOQ＞∠POQ。

作P點關(guān)于OQ的對稱點P′，連接PP′交OQ于點M，

過P′作P′N垂直于對稱軸，垂足為N，連接OP′，

在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1。

∴OQ=，

∵S_△OPQ=S_{四邊形ABCD}﹣S_△AOP﹣S_△COQ﹣S_△QBP=3=OQ×PM，

∴PM=，

∴PP′=2PM=，

∵NPP′=∠COQ。

∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′

∴，

∴ ，，

∴P′（），

∴直線OP′的解析式為，

∴OP′與NP的交點H₂（2，）。

∴當(dāng)時，∠HOP＞∠POQ。

綜上所述，當(dāng)或時，∠HOQ＞∠POQ。