Question

6．已知如圖邊長為1cm的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞頂點B順時針旋轉30°，則這兩個正方形重疊部分的面積是$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm²．

Answer 1

分析 連結BH，如圖，利用正方形的性質得BA=BC，∠ABC=∠A=∠C=90°，再根據旋轉的性質得BE=BC，∠EBC=60°，則可根據“HL”判斷Rt△BHE≌Rt△BHC，則∠HBE=∠HBC=30°，接著在Rt△EBH中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則根據三角形面積公式得到S_△HBE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，于是得到S_{四邊形BEHC}=2S_△HBE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm²．

解答 解：連結BH，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABC=∠A=∠C=90°，
∵正方形BADC繞頂點B順時針旋轉30°得到正方形BEFG，
∴BA=BE=1，∠ABE=30°，∠E=∠A=90°，
∴BE=BC，∠EBC=60°，
在Rt△BHE和Rt△BHC中
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BHE≌Rt△BHC，
∴∠HBE=∠HBC=30°，
在Rt△EBH中，∵∠HBE=30°，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△HBE=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴S_{四邊形BEHC}=2S_△HBE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（cm²），
即這兩個正方形重疊部分的面積是$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm²．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質．