Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點(diǎn)A（1，3）和B（-3，m）．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)C是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，BC∥x軸，AD⊥BC于點(diǎn)D，連結(jié)AC，若AC=$\sqrt{5}$CD，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，確定出反比例函數(shù)的解析式，再把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式中即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）由BC∥x軸，AD⊥BC于點(diǎn)D，且A（1，3），B（-3，-1），得出D（1，-1），C（x，-1），CD=|x-1|，AD=4，AC=$\sqrt{5}$CD=$\sqrt{5}$|x-1|．然后在Rt△ACD中利用勾股定理列出方程16+（x-1）²=5（x-1）²，解方程即可．

解答 解：（1）將A（1，3）代入反比例解析式得：k=1×3=3，
則反比例解析式為y=$\frac{3}{x}$，
將B（-3，m）代入反比例解析式得：m=-1，即B（-3，-1）．
將A與B坐標(biāo)代入y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{-3a+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
則一次函數(shù)解析式為y=x+2；

（2）∵BC∥x軸，AD⊥BC于點(diǎn)D，且A（1，3），B（-3，-1），
∴D（1，-1），C（x，-1），
∴CD=|x-1|，AD=4．
∵AC=$\sqrt{5}$CD=$\sqrt{5}$|x-1|，
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²，
即16+（x-1）²=5（x-1）²，
解得x₁=3，x₂=-1，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-1）或（-1，-1）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，平行于x軸的直線上任意兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．