Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點(diǎn)．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）如圖一，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖二，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長最小？若存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】代數(shù)幾何綜合題．

【分析】方法一：

（1）利用待定系數(shù)法即可求得；

（2）如答圖1，四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．求出△PBC面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值；

（3）如答圖2，DE為線段AC的垂直平分線，則點(diǎn)A、C關(guān)于直線DE對稱．連接AM，與DE交于點(diǎn)G，此時(shí)△CMG的周長=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點(diǎn)G為所求．分別求出直線DE、AM的解析式，聯(lián)立后求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

方法二：

（1）略．

（2）由于△ABC面積為定值，因此只需△BCP面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，利用水平底與鉛垂高乘積的一半可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）因?yàn)辄c(diǎn)A，C關(guān)于直線DE對稱，因此直線AM與直線DE的交點(diǎn)即為點(diǎn)G．聯(lián)立AM與DE的直線方程，可求出G點(diǎn)坐標(biāo)．

【解答】方法一：

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點(diǎn)．

∴，解得，

∴這條拋物線的解析式為：y=﹣x²+x+2．

（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，將B（2，0）、C（0，2）代入得：

，解得，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．

如答圖1，連接BC．

四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．

設(shè)P（x，﹣x²+x+2），

過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，則F（x，﹣x+2）．

∴PF=（﹣x²+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x²+2x．

S_△PBC=S_△PFC+S_△PFB=PF（x_F﹣x_C）+PF（x_B﹣x_F）=PF（x_B﹣x_C）=PF

∴S_△PBC=﹣x²+2x=﹣（x﹣1）²+1

∴當(dāng)x=1時(shí)，△PBC面積最大，即四邊形ABPC面積最大．此時(shí)P（1，2）．

∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，四邊形ABPC的面積最大．

（3）存在．

∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，

∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，

∴△AOC∽△ADE，

∴=，即=，解得AE=，

∴E（，0）．

∵DE為線段AC的垂直平分線，

∴點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴D（﹣，1）．

可求得直線DE的解析式為：y=﹣x+ ①．

∵y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣）²+，∴M（，）．

又A（﹣1，0），則可求得直線AM的解析式為：y=x+ ②．

∵DE為線段AC的垂直平分線，

∴點(diǎn)A、C關(guān)于直線DE對稱．

如答圖2，連接AM，與DE交于點(diǎn)G，

此時(shí)△CMG的周長=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點(diǎn)G為所求．

聯(lián)立①②式，可求得交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣，）．

∴在直線DE上存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長最小，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣，）．

方法二：

（1）略．

（2）連接BC，過點(diǎn)P作x軸垂線，交BC′于F，

當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積最大．

∵B（2，0）、C（0，2），

∴l(xiāng)BC：y=﹣x+2，

設(shè)P（t，﹣t²+t+2），

∴F（t，﹣t+2），

S_△BCP=（P_Y﹣F_Y）（B_X﹣C_X）=（﹣t²+t+2+t﹣2）×2=﹣t²+2t，

∴當(dāng)t=1時(shí)，S_△BCP有最大值，即四邊形ABPC的面積最大．

∴P（1，2）．

（3）∵DE為線段AC的垂直平分線，

∴點(diǎn)A是點(diǎn)C關(guān)于直線DE對稱，

∴GC=GA，

∴△CMG的周長最小時(shí)，M，G，A三點(diǎn)共線．

∵拋物線y=﹣x²+x+2，

∴M（，），A（﹣1，0），

∴l(xiāng)_MA：y=x+，

∵A（﹣1，0），C（0，2），

∴K_AC==2，

∵AC⊥DE，∴K_AC×K_DE=﹣1，K_DE=﹣，

∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，

∴D_x==﹣，D_Y==1，

∴D（﹣，1），

∴l(xiāng)_DE：y=﹣x+，

∴⇒，

∴G（﹣，）．

     

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，難度適中，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、相似三角形、軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪�、圖形面積計(jì)算、最值等知識點(diǎn)．