Question

如圖，P為⊙O的直徑EF延長線上一點，PA交⊙O于B、A兩點，PC交⊙O于點D、C兩點，且AB=CD，求證：
（1）∠1=∠2；
（2）PB=PD．

Answer 1

考點：垂徑定理,全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）過點O分別作OE⊥AB，OH⊥CD于點E、H，再根據(jù)HL定理得出△OEP≌△OHP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中△OEP≌△OHP可知PE=PH，再由AB=CD可知BE=DH，故可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：過點O分別作OE⊥AB，OH⊥CD于點E、H，
∵AB=CD，
∴OE=OH，
在Rt△OEP與Rt△OHP中，
∵

OE=OH OP=OP

，
∴△OEP≌△OHP（HL）．
∴∠1=∠2；

（2）證明：∵△OEP≌△OHP，
∴PE=PH．
∵AB=CD，OE⊥AB，OH⊥CD，
∴BE=DH，
∴PB=PD．

點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．