Question

已知點B（0，1），在y軸上取點D（0，3），點E為直線x=1上的一動點，則x軸上是否存在一點F，使D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長最�。咳舸嬖�，求出這個最小值及點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,坐標與圖形性質(zhì)

專題：

分析：作B點關于x軸的對稱點B′，則B′（0，-1），作D點關于直線x=1的對稱點D′，則D′（2，3），連結D′B′交直線x=1于E點，x交軸于F，根據(jù)D點與D′點關于直線x=1對稱，則ED=ED′，由B點關于x軸的對稱點B′得到FB=FB′，根據(jù)兩點之間線段最短得到此時四邊形BFED的周長為D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長的最小值，然后根據(jù)兩點之間的距離公式計算出D′B′=2

5

，從而得到最小周長=2+2

5

；再待定系數(shù)法求出直線DB′的解析式為y=2x-1，則把x=1或y=0分別代入y=2x-1可得到E點和F點坐標；

解答：解：存在．
作B點關于x軸的對稱點B′，則B′（0，-1），作D點關于直線x=1的對稱點D′，則D′（2，3），連結D′B′交直線x=1于E點，x交軸于F，如圖，
∴ED=ED′，F(xiàn)B=FB′，
∴此時D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長最小，最小值=BD+BF+FE+ED=BD+B′D′=2+

(2-0)2+(3+1)2

=2+2

5

；
設直線CB′的解析式為y=kx+b，
把D′（2，3）、B′（0，-1）代入

2k+b=3 b=-1

，解得

k=2 b=-1

，
∴直線D′B′的解析式為y=2x-1，
當x=1時，則y=2-1=1；當y=0時，2x-1=0，解得x=

1

2

，
∴點E坐標為（1，1），點F坐標為（

1

2

，0）；

點評：本題考查了軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式勾股定理的應用，運用兩點之間線段最短解決最短路徑問題；熟練運用兩點間的距離公式計算線段的長．