Question

如圖，已知等邊△ABC中，D、E兩點(diǎn)在直線BC上，且∠DAE=120°．
（1）判斷△ABD是否與△ECA相似，并說明你的理由；
（2）當(dāng)CE•BD=16時(shí)，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）△ABD與△ECA相似，由△ABC是等邊三角形得到AB=AC，∠ACB=∠ABC=60°，由此得到∠ACE=∠ABD=120°，而∠DAE=120°，由此再證明∠D=∠CAE即可可以證明△ADE∽△CAE；
（2）由（1）可知△ABD∽△ACE，所以

BD

AC

=

AB

CE

，即AB•AC=BD•CE．由此可求出AB的長，從而求出△ABC的周長．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°．
∵∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°．
∵∠DAB+∠D=∠ABC=60°，
∴∠D=∠CAE．
∵∠DBA=∠ACE=120°，
∴△ABD∽△ECA；

（2）解：∵△ABD∽△ECA，
∴

BD

AC

=

AB

CE

，
即AB•AC=BD•CE．
∵BD•CE=16，
∴AB•AC=16．
∵AB=AC，
∴AB²=16，
∴AB=4，
∴△ABC的周長為12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意題目中的相等線段的代替．