Question

8．已知直線y=$-\frac{3}{4}x+3$與直線y=$kx-\frac{16}{3}$交于x軸上的同一個(gè)點(diǎn)A，直線y=$-\frac{3}{4}x+3$與y軸交于點(diǎn)B，直線y=$kx-\frac{16}{3}$與y軸的交點(diǎn)為C．
（1）求k的值；
（2）若點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn)且△ACP的面積為10，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M、N分別是x軸上、直線y=$kx-\frac{16}{3}$上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)O重合），是否存在點(diǎn)M、N使得，△AMN與△AOC全等？若存在，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先由直線y=$-\frac{3}{4}x+3$求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再代入直線y=$kx-\frac{16}{3}$即可求出k的值；
（2）根據(jù)△ACP的面積=△ABC的面積-△PBC的面積=10，先求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再代入函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)；
（3）分三種情況：N為直角頂點(diǎn)有兩種情況，M為直角頂點(diǎn)有一種情況；先根據(jù)勾股定理求出斜邊AC，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和三角形的面積關(guān)系容易得出結(jié)果．

解答 解：（1）對(duì)于直線y=$-\frac{3}{4}x+3$，當(dāng)y=0時(shí)，$-\frac{3}{4}x+3$=0，
解得：x=4，∴A（4，0），λ
把A（4，0）代入直線y=$kx-\frac{16}{3}$得：4k-$\frac{16}{3}$=0，
解得：k=$\frac{4}{3}$，y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$；
（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b），
則△ACP的面積=△ABC的面積-△PBC的面積
=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{16}{3}$）×4-$\frac{1}{2}$（3+$\frac{16}{3}$）a=10，
解得：a=$\frac{8}{5}$，
把P（$\frac{8}{5}$，b）代入y=$-\frac{3}{4}x+3$得：b=$\frac{9}{5}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{8}{5}，\frac{9}{5}$）；
（3）存在；分三種情況：
①如圖1所示：作ND⊥x軸于D，
∵AC=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{16}{3}）^{2}}$=$\frac{20}{3}$，△AMN≌△AOC，
∴AM=AC=$\frac{20}{3}$，AN=AO=4，MN=OC=$\frac{16}{3}$，
∵△AMN的面積=$\frac{1}{2}$AM•ND=$\frac{1}{2}$AN•MN，
∴ND=$\frac{AN•MN}{AM}$=$\frac{4×\frac{16}{3}}{\frac{20}{3}}=\frac{16}{5}$，
∴N的縱坐標(biāo)為-$\frac{16}{5}$，代入y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$得：
$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$=-$\frac{16}{5}$，
解得：x=$\frac{8}{5}$，
∴N（$\frac{8}{5}，-\frac{16}{5}$）；
②如圖2所示：
∵△AMN≌△AOC，
∴AM=AO=4，MN=OC=$\frac{16}{3}$，
∴OM=4+4=8，
∴N（$8，\frac{16}{3}$）；
③如圖3所示：作NE⊥x軸于E，
∵△AMN≌△AOC，
∴AM=AC=$\frac{20}{3}$，AN=AO=4，MN=OC=$\frac{16}{3}$，
同①得：NE=$\frac{16}{5}$，
把y=$\frac{16}{5}$代入y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$得：
$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$=$\frac{16}{5}$，
解得：x=$\frac{32}{5}$，
∴N （$\frac{32}{5}，\frac{16}{5}$）；
綜上所述：N點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（$\frac{8}{5}，-\frac{16}{5}$）或N（$8，\frac{16}{3}$）或 （$\frac{32}{5}，\frac{16}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)解析式的求法、點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理、三角形的面積、全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)；要注意的是（3）中，要根據(jù)M、N點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．