Question

閱讀理解：德國著名數(shù)學家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，、物理學家、天文學家、大地測量學家．）被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并有“數(shù)學王子“的美譽．高斯從小就善于觀察和思考．在他讀小學時候就能在課堂上快速的計算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我們可以將高斯的做法歸納如下：
令（右邊相加100+1=2+99=3+98=…=100+1共100組）
①+②：有2S=101x100，解得：S=5050．
請類比以上做法，回答，3+5+7+9+…..+97=

 

；   
題目：如圖，有一個形如六邊形的點陣，它的中心是一個點，算第一層，第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點，依此類推．
（1）填寫如表：

層數(shù)	1	2	3	4
該層對應的點數(shù)	1	6	12	18
所有層的總點數(shù)	1	7	19

（2）寫出第n層所對應的點數(shù)；（n≥2）
（3）如果某一層共96個點，你知道它是第幾層嗎？；
（4）寫出n層的六邊形點陣的總點數(shù)；
（5）如果六邊形點陣圖的總點數(shù)是631個，你知道它共有幾層嗎？

Answer 1

考點：規(guī)律型：圖形的變化類

專題：閱讀型

分析：根據(jù)六邊形有六條邊，則第一層有1個點，第二層有2×6-6=6（個）點，第三層有3×6-6=12（個）點，推而廣之即可求解．然后根據(jù)得到的通項公式求出相應題目的解即可．

解答：解：3+5+7+9+…..+97=

1

2

×2×（3+5+7+9+…..+97）=

1

2

×48×100=2400；
第一層上的點數(shù)為1；
第二層上的點數(shù)為6=1×6；
第三層上的點數(shù)為6+6=2×6；
第四層上的點數(shù)為6+6+6=3×6；
…
第n層上的點數(shù)為（n-1）×6．
所以n層六邊形點陣的總點數(shù)為
1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6[（1+2+3+…+n-1）+（n-1+n-2+…+3+2+1）]÷2
=1+6×

n(n-1)

2

=1+3n（n-1）
（1）填表如下：

層數(shù)	1	2	3	4
該層對應的點數(shù)	1	6	12	18
所有層的總點數(shù)	1	7	19	37

（2）根據(jù)分析可得第n層的點數(shù)之和為6（n-1）；
（3）由題意得：6（n-1）=96
解得：n=17，
故第17層共有96個點；
（4）根據(jù)分析可得共有n層時的點數(shù)之和為1+3n（n-1）；
（5）根據(jù)題意得：
1+3n（n-1）=631．
n（n-1）=210；
（n-15）（n+14）=0
n=15或-14．
故n=15，
答：共有15層．

點評：本題考查了圖形的變化類問題，主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．