Question

如圖A、B是反比例函數(shù)y=

3

x

上兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)的直線與x軸的夾角為45°，與y軸的交點(diǎn)為（0，2），作AC∥x軸，AC⊥BC于點(diǎn)C．
（1）求陰影部分面積；
（2）若BC和AC分別交x軸、y軸于D、E，連接DE，求證：△ABC∽△EDC．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)直線AB解析式為y=x+b，把（0，2）代入求出b的值，確定出直線AB解析式，進(jìn)而確定出Q的坐標(biāo)得到OP=OQ，求出三角形OPQ面積，把直線AB解析式與反比例解析式聯(lián)立求出A與B坐標(biāo)，確定出AE=BD=3，CE=CD=1，求出AC=BC=4，確定出三角形ABC面積，由三角形ABC面積減去三角形OPQ面積求出陰影部分面積即可；
（2）由（1）得到三角形DEC與三角形BAC都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到兩對(duì)角相等，利用兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證．

解答：解：（1）根據(jù)題意設(shè)直線AB解析式為y=x+b，
把（0，2）代入得：b=2，即直線AB解析式為y=x+2，
令y=0，得到x=-2，即OQ=OP=2，
∴S_△OPQ=

1

2

×2×2=2，
與反比例解析式聯(lián)立得：

y= 3 x y=x+2

，
解得：

x=1 y=3

或

x=-3 y=-1

，
∴A（-3，-1），B（1，3），即AE=BD=3，EC=CD=1，
∴AC=BC=3+1=4，
∴S_△ABC=

1

2

×4×4=8，
則S_陰影=S_△ABC-S_△OPQ=8-2=6；
（2）由（1）得到EC=DC，且∠C=90°，AC=BC，
∴△DEC和△BAC都為等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CBA=45°，∠CED=∠CAB=45°，
則△ABC∽△EDC．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：直線的點(diǎn)斜式方程，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．