Question

15．如圖，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，把一塊含30°角的直角三角尺（△DEF）的直角頂點(diǎn)D放在AB邊的中點(diǎn)上，將直角三角尺繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，其中DE交AC于點(diǎn)M，DF交BC于點(diǎn)N．
（1）判斷DM與DN的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，直角三角尺與△ABC重疊部分為四邊形DMCN，試判斷四邊形DMCN的面積是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明是如何變化的；若不變化，求出其面積．

Answer 1

分析 （1）連接BD，求出∠MBD=∠C，∠MDB=∠CDN，BD=DC，證△BDM≌△CDN即可；
（2）求出△BDM和△CDN面積相等，求出四邊形DMBN的面積等于△BDC面積，等于△ABC面積的一半，求出△ACB的面積即可．

解答 （1）相等，
證明：連接BD，
∵△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$AC，∠ABD=∠CBD=∠A=∠C=45°，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°=∠EDF，
∴∠MDB=∠CDN=90°-∠BDN，
在△BMD和△CND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBD=∠C}\\{BD=DC}\\{∠BDM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN；

（2）解：不發(fā)生變化，
∵△BMD≌△CND，
∴S_△BMD=S_△CND，
∴S_{四邊形DMBN}=S_△BMD+S_△BDN
=S_△CDN+S_△BDN=S_△BDC
=$\frac{1}{2}$S_△ACB
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1×1
=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，連接BD構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．