Question

13．如圖，已知銳角△ABC中，邊BC長(zhǎng)為90，高AD長(zhǎng)為60，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，EF交AD于點(diǎn)K．
（1）求$\frac{AK}{EF}$的值；
（2）設(shè)EH=x，矩形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形性質(zhì)：相似比等于對(duì)應(yīng)邊上的高的比，即可解決問(wèn)題．
（2）利用（1）的結(jié)論，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題即可解決．

解答 解：（1）∵四邊形EFGH是矩形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC
∵AD⊥BC，
∴AD⊥EF，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，∵AD=60，BC=90，
∴$\frac{AK}{EF}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{60}{90}$=$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）可知$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，
∴EF=$\frac{90•（60-x）}{60}$=90-$\frac{3}{2}$x，
∴y=-$\frac{3}{2}$x²+90x=-$\frac{3}{2}$（x-30）²+1350．
∵a=-$\frac{3}{2}$＜O，
∴x=30時(shí)，y最大值=1350．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)邊上的高的比，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．