Question

4．如圖，已知等腰直角三角形ABC中，D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為斜邊BC所在直線上一動(dòng)點(diǎn)，且三角形DMN為等腰直角三角形（DM=DN，D、M、N呈逆時(shí)針）．
（1）如圖1點(diǎn)M在邊BC上，判斷MF和AN的數(shù)量和位置關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．
（2）如圖2點(diǎn)M在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)；如圖3，點(diǎn)M在C點(diǎn)右側(cè)．其他條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立，并選擇圖2或圖3的一種情況來(lái)說(shuō)明理由．
（3）在圖2中若∠DMB=α，連接EN，請(qǐng)猜測(cè)MF與EN的數(shù)量關(guān)系，即MF=（sinα+cosα） EN．（用含α的三角函數(shù)的式子表示）

Answer 1

分析 （1）可通過(guò)全等三角形來(lái)證明AN與MF相等，如果連接DF，那么DF就是三角形ABC的中位線，可得出三角形BDF是等腰直角三角形，那么∠DFM=∠C=45°，DB=DF，而∠MDF=∠ADN，因此△FDM≌△AFN，由此可得出AN=MF，∠DAN=∠DFM=45°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AN⊥MF；
（2）證法同（1）；
（3）證明△DAN≌△EAN，得出EN=DN，進(jìn)一步得出DM=EN，作DH⊥BC于H，由∠DFM=45°，證得△DHF是等腰直角三角形，得出FH=DH，然后解直角三角形得出MH=DM•sinα，DH=DM•cosα，從而得出MF=MH+FH=DM（sinα+cosα）=（sinα+cosα）EN．

解答 解：（1）判斷：AN=MF且AN⊥MF，
（2）成立．
連接DF，NF，如圖2①，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°．
又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，
∴DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴∠BDF=90°，∠MFD=∠C=45°，
∴∠MDN=∠BDF，
∴∠FDM=∠ADN，
在△DMF和△DNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=AD}\\{∠FDM=∠ADN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$
∴△DMF≌△DNA（SAS），
∴FM=AN，∠DAN=∠MFD=45°．
∴AN是∠BAC的平分線，
∴AN⊥BC，
即AN⊥MF；
（3）由（2）可知：∠DAN=∠EAN，如圖2②，
∵D、E分別為邊AB、ACC的中點(diǎn)，AB=AC，
∴AD=AE，
在△DAN和△EAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAN=∠EAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$
∴△DAN≌△EAN（SAS），
∴EN=DN，
∵DM=DN，
∴DM=EN，
作DH⊥BC于H，
∵∠DFM=45°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴FH=DH，
∵M(jìn)H=DM•sinα，DH=DM•cosα，
∴FH=DH=DM•cosα，
∴MF=MH+FH=DM（sinα+cosα）=（sinα+cosα）EN，
即MF=（sinα+cosα）EN；
故答案為（sinα+cosα）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．