Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3），動點M，N同時從B點出發(fā)，分別沿BA，BC方向運動，速度都是1厘米/秒，過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q，當(dāng)點N到達終點C時，點M也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM=

 

厘米；
（2）若a=5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運動過程中，存在某個時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知，當(dāng)t=1秒時，BN=BM=1，又因為PM⊥BC，所以△APM∽△ANB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以求出PM的值．
（2）根據(jù)題意，作出圖形，當(dāng)△PNB∽△PAD時，對應(yīng)邊之比等于高之比，即

BN

AD

=

BM

AM

，進而可以求出時間t．
（3）設(shè)BN=x，則0≤x≤3，則BM=x，再用x表示出PM，就可以用x表達出兩個梯形的面積，求出x的值，進而求出a的取值．

解答：解：（1）由題意知，當(dāng)t=1秒時，BN=BM=1，
∵a=4厘米，∴AM=3，
又∵PM⊥AB，
∴△APM∽△ANB，
∴

PM

BN

=

AM

AB

，
即

PM

1

=

3

4

，
解得，PM=

3

4

；

（2）如圖示，作出△PNB和△PAD，則BM和AM分別是它們的高，
若△PNB∽△PAD，則

BN

AD

=

BM

AM

，即

t

3

=

t

5-t

，解得，t=2．
即t=2時，△PNB∽△PAD，相似比為

2

3

．

（3）設(shè)BN=x，則0≤x≤3，則BM=x，
由（1）知，△APM∽△ANB，∴

PM

BN

=

AM

AB

，∴

PM

x

=

a-x

a

，
∴PM=

x(a-x)

a

，
所以由題意得，

(3- x(a-x) a +3)• (a-x)

2

=

( x(a-x) a +x)•x

2

，
解得x=

6a

a+6

，所以0≤

6a

a+6

≤3，解得0≤a≤6．
又∵a＞3，
∴a的范圍是3＜a≤6．

補充：設(shè)BN=BM=x，則PM=

x(a-x)

a

，
使梯形PMBN和梯形PQDN面積相等，由（3）得3＜a≤6；
若它們的面積都等于梯形PQCN的面積，
∴S_梯形PMBN=

1

2

S_矩形BCQM
即

1

2

[

x(a-x)

a

+x]•t=

1

2

•3•t，
解得t=a±

a2-3a

，a＞3，
∴t=a-

a2-3a

，
而0≤t≤3，
∴a＞3，
所以a的范圍是3＜a≤6．

點評：能夠利用平行線判定相似三角形，并且利用相似的性質(zhì)列出比例式是解題的關(guān)鍵．