Question

9．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)A在軸上，與y軸的交點(diǎn)為B（0，4），且ac=b．平移直線y=-3x，使它經(jīng)過點(diǎn)A，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的解析式及直線AC的解析式；
（2）△ABC的面積為5．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點(diǎn)的特點(diǎn)得出4ac=b²，結(jié)合ac=b求得b=4，根據(jù)b的坐標(biāo)求得c=4，進(jìn)而求得a=1，從而求得二次函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式求得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)出直線AC的解析式，代入A的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（2）聯(lián)立方程求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)梯形的面積減去兩個(gè)三角形的面積求得即可．

解答 解：（1）∵頂點(diǎn)A在軸上，
∴$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=0，
∴4ac=b²
∵ac=b．
∴4b=b²，
∵b≠0，
∴b=4，
∵拋物線y=ax²+bx+c與y軸的交點(diǎn)為B（0，4），
∴c=4，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+4，；
∵y=x²+4x+4=（x+2）²，
∴A（-2，0），
∵平移直線y=-3x，使它經(jīng)過點(diǎn)A，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
∴設(shè)直線AC為y=-3x+n，
把（-2，0）代入得，6+n=0，
∴n=-6，
∴直線AC的解析式為y=-3x-6；
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-6}\\{y={x}^{2}+4x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴C（-5，9），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$（4+9）×5-$\frac{1}{2}$（5-2）×9-$\frac{1}{2}$×2×4=5．
故答案為5．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求得b的值是解題的關(guān)鍵．