Question

2．已知二次函數(shù)y=x²+mx+m-5（m是常數(shù)）．
（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸一定有兩公共點；
（2）若該二次函數(shù)的圖象過點（0，-3），則將函數(shù)圖象沿x軸怎樣平移能使拋物線過原點？

Answer 1

分析 （1）框?qū)⒑瘮?shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，然后證明△＞0即可；
（2）將點（0，-3）代入可求得m的值，從而得到拋物線的接下來，然后再求得拋物線與x軸的交點坐標，然后可確定出平移的方向和距離．

解答 解：（1）令y=0得關(guān)于x的一元二次方程：x²+mx+m-5=0，則△=b²-4ac=m²-4（m-5）=m²-4m+20=（m-2）²+16．
∵不論m為何值，（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+16＞0．
∴不論m為何值，一元二次方程x²+mx+m-5=0一定有兩個不相等的實數(shù)根，
∴不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸一定有兩公共點．
（2）∵函數(shù)圖象過點（0，-3），
∴m-5=-3，m=2，
∴二次函數(shù)表達式為y=x²+2x-3，
∵令y=0得：x²+2x-3=0解得：x₁=1，x₂=-3．
∴函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點為：（1，0）和（-3，0）．
∴將函數(shù)圖象沿x 軸向右平移3個單位或向左平移1個單位就能使拋物線過原點．

點評 本題主要考查的是二次與x軸的交點問題，求得拋物線與x軸的兩交點的坐標是解答問題（2）的關(guān)鍵．