Question

已知，直角三角形ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，BC＝6．

(1)如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿直線DE方向向右運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)EP＝______時(shí)，四邊形BCDP是矩形；

(2)將點(diǎn)B繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

①如圖2，旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)F處，連接AF、BF、EF．設(shè)∠BEF＝α°，求證：△ABF是直角三角形；

②如圖3，旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)G處，連接DG、EG．已知∠BEG＝90°，求△DEG的面積．

圖1                            圖2                            圖3

Answer 1

 (1)3；………………1分

(2)

①∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE．

由題意可得，BE＝EF．∴BE＝EF＝AE．………………2分

在△BEF中，∠BEF＝α°，可得∠EBF＝∠BFE＝90°－α°．

在△AEF中，可得∠EAF＝∠AFE＝α°．………………4分

∴∠BFE＋∠AFE ＝90°－α°＋α°＝90°．

∴△ABF是直角三角形；………………5分

②解法一  如圖4，將點(diǎn)D繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)點(diǎn)H，連接EH、BH．

 

圖4                            圖5                            圖6

可證明△DEG≌△HEB．………………7分

求得△HEB的面積為，∴△DEG的面積為．………………9分

解法二  如圖5，過(guò)點(diǎn)E作邊BC的垂線，垂足為點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)G作直線EK的垂線，垂足為點(diǎn)H．

可證明△EHG≌△BKE．………………7分

∴EH＝BK＝3．

∴△DEG的面積為．………………9分

解法三  如圖6，過(guò)點(diǎn)E作邊BC的垂線，垂足為點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)G作直線DE的垂線，垂足為點(diǎn)M．

可證明△GME≌△BKE．………………7分

∴GM＝BK＝3．

∴△DEG的面積為．………………9分