Question

已知拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的頂點P的坐標是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)，與y軸的交點是M（0，c）．我們稱以M為頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線．
（1）請直接寫出拋物線y=2x²-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：
伴隨拋物線的解析式 ______，伴隨直線的解析式 ______；
（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x²-3和y=-x-3，則這條拋物線的解析式是 ______；
（3）求拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式；
（4）若拋物線L與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，x₂＞x₁＞0，它的伴隨拋物線與x軸交于C、D兩點，且AB=CD．請求出a、b、c應滿足的條件．

Answer 1

（1）y=-2x²+1，y=-2x+1；
（2）y=x²-2x-3；
（3）∵伴隨拋物線的頂點是（0，c），
∵設它的解析式為y=m（x-0）²+c（m≠0），
∵此拋物線過P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴

4ac-b2

4a

=m•（-

b

2a

）²+c，
解得m=-a，
∴伴隨拋物線解析式為y=-ax²+c；
設伴隨直線解析式為y=kx+c（k≠0），
P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）在此直線上，
∴

4ac-b2

4a

=-

b

2a

k+c，
∴k=

b

2

，
∴伴隨直線解析式為y=

b

2

x+c；
（4）∵拋物線L與x軸有兩交點，
∴△₁=b²-4ac＞0，
∴b²＞4ac；
∵x₂＞x₁＞0，
∴x₂+x₁=-

b

a

＞0，x₁•x₂=

c

a

＞0，
∴ab＜0，ac＞0．
對于伴隨拋物線有y=-ax²+c，有△₂=0-（-4ac）=4ac＞0，由-ax²+c=0，得x=±

c a

．
∴C（-

c a

，0），D（

c a

，0），CD=2

c a

，
又AB=x₂-x₁=

(x2-x1)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2- 4c a

=

b2-4ac

|a|

，
∵AB=CD，則有：2

c a

=

b2-4ac

|a|

，即b²=8ac，
綜合b²=8ac，b²-4ac＞0，ab＜0，ac＞0
可得a、b、c需滿足的條件為：
b²=8ac且ab＜0（或b²=8ac且bc＜0）．