Question

【問題探究】
（1）如圖①，點E是正△ABC高AD上的一定點，請在AB上找一點F，使EF=

1

2

AE，并說明理由；
（2）如圖②，點M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動點，求

1

2

AM+MC的最小值；
【問題解決】
（3）如圖③，A、B兩地相距600km，AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路．點B到AC的最短距離為360km．今計劃在鐵路線AC上修一個中轉(zhuǎn)站M，再在BM間修一條筆直的公路．如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍．那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運費達到最小值，請確定中轉(zhuǎn)站M的位置，并求出AM的長．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

考點：作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAD=30°，得出EF=

1

2

AE；
（2）根據(jù)題意得出C，M，N在一條直線上時，此時

1

2

AM+MC最小，進而求出即可；
（3）作BD⊥AC，垂足為點D，在AC異于點B的一側(cè)作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足為點F，交AC于點M，點M即為所求，在Rt△ABD中，求出AD的長，在Rt△MBD中，得出MD的長，即可得出答案．

解答：解：（1）如圖①，作EF⊥AB，垂足為點F，點F即為所求．

理由如下：∵點E是正△ABC高AD上的一定點，
∴∠BAD=30°，
∵EF⊥AB，
∴EF=

1

2

AE；
                                
（2）如圖②，作CN⊥AB，垂足為點N，交AD于點M，此時

1

2

AM+MC最小，最小為CN的長．
∵△ABC是邊長為2的正△ABC，
∴CN=BC•sin60°=2×

3

2

=

3

，
∴MN+CM=

1

2

AM+MC=

3

，
即

1

2

AM+MC的最小值為

3

．

（3）如圖③，作BD⊥AC，垂足為點D，在AC異于點B的一側(cè)作∠CAN=30°，
作BF⊥AN，垂足為點F，交AC于點M，點M即為所求．
在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=

6002-3602

=480（km），
在Rt△MBD中，∠MBD=∠MAF=30°，得MD=BD•tan30°=120

3

（km），
所以AM=(480-120

3

)km．

點評：此題主要考查了正三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理等知識，利用特殊角的三角函數(shù)關(guān)系得出是解題關(guān)鍵．