Question

如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是劣弧上一點（不與A、B重合），將△PBC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°，得△DAC，AB交PC于E．則下列結(jié)論正確的序號是________．
①PA+PB=PC；
②BC²=PC•CE；
③四邊形ABCD有可能成為平行四邊形；
④△PCD的面積有最大值．

Answer 1

①②④
分析：分別根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)分別判斷的即可．
解答：①∵將△PBC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°，
∴∠PCD=60°，PC=CD，AD=PB，∠CAD=∠CBP，
∵∠PBC+∠PAC=180°，∠DAC+∠PAC=180°，
∴P，A，D在一條直線上，
∴△PCD是等邊三角形，
∴PC=PD=DC，
∴PB+PA=PA+AD=PD=PC，故選項①正確；
②∵∠BPC=∠BAC=∠CBA=60°，
∠PCB=∠BCE，
∴△BCE∽△PCB，
∴=
∴BC²=PC•CE，故選項②正確；
③當(dāng)四邊形ABCD成為平行四邊形時，
AD=BC，
∵PB=AD，
∴PB=BC，
∵BPC=∠BAC=60°，
∴△PBC是等邊三角形，此時P與A點重合，
∵P是劣弧上一點（不與A、B重合），
∴四邊形ABCD不可能成為平行四邊形，故選項③錯誤；
④∵P是劣弧上一點（不與A、B重合），將△PBC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°，
∴根據(jù)①得出旋轉(zhuǎn)后的三角形是等邊三角形，當(dāng)邊長越大，則三角形面積越大，
故當(dāng)P為劣弧的中點時，PC最大，此時三角形面積最大，
∴△PCD的面積有最大值，故選項④正確．
故答案為：①②④．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)邊與對應(yīng)角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．