Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，其中點B（2，0），交y軸于點C（0，﹣ ）．直線y=mx+ 過點B與y軸交于點N，與拋物線的另一個交點是D，點P是直線BD下方的拋物線上一動點（不與點B、D重合），過點P作y軸的平行線，交直線BD于點E，過點D作DM⊥y軸于點M．

（1）求拋物線y= x2+bx+c的表達(dá)式及點D的坐標(biāo)；
（2）若四邊形PEMN是平行四邊形？請求出點P的坐標(biāo)；
（3）過點P作PF⊥BD于點F，設(shè)△PEF的周長為C，點P的橫坐標(biāo)為a，求C與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出C的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將B，C點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得 ，

解得 ，

拋物線的解析式為y= x2+ x﹣ ．

∵直線y=mx+ 過點B（2，0），

∴2m+ =0，

解得m=﹣ ，

直線的解析式為y=﹣ x+ ．

聯(lián)立直線與拋物線，得

∴ x2+ x﹣ =﹣ x+ ，

解得x1=﹣8，x2=2（舍），

∴D（﹣8，7 ）

（2）

解：∵DM⊥y軸，

∴M（0，7 ），N（0， ）

∴MN=7 ﹣ =6．

設(shè)P的坐標(biāo)為（x， x2+ x﹣ ），E的坐標(biāo)則是（x，﹣ x+ ）

PE=﹣ x+ ﹣（ x2+ x﹣ ）=﹣ x2﹣ x+4，

∵PE∥y軸，要使四邊形PEMN是平行四邊形，必有PE=MN，

即﹣ x2﹣ x+4=6，解得x1=﹣2，x2=﹣4，

當(dāng)x=﹣2時，y=﹣3，即P（﹣2，﹣3），

當(dāng)x=﹣4時，y=﹣ ，即P（﹣4，﹣ ），

綜上所述：點P的坐標(biāo)是（﹣2，﹣3）和）（﹣4，﹣ ）

（3）

解：在Rt△DMN中，DM=8，MN=6，

由勾股定理，得

DN= =10，

∴△DMN的周長是24．

∵PE∥y軸，

∴∠PEN=∠DNM，

又∵∠PFE=∠DMN=90°，

∴△PEF∽△DMN，

∴ = ，

由（2）知PE=﹣ a2﹣ a+4，

∴ = ，

∴C=﹣ a2﹣ a+ ，

C=﹣ （a+3）2+15，

C與a的函數(shù)關(guān)系式為C=﹣ a2﹣ a+ ，

當(dāng)x=﹣3時，C的最大值是15

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式，直線的解析式，根據(jù)解方程組，可得D點坐標(biāo)；（2）根據(jù)y軸上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得MN，PE的長，根據(jù)平行四邊形的判定，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得P的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；（3）根據(jù)勾股定理，可得DN的長，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得 = ，根據(jù)比例的基本性質(zhì)，可得答案．
【考點精析】掌握平行四邊形的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．