Question

已知一條拋物線與y軸的交點為C，頂點為D，直線CD的解析式為y=x+3，并且線段CD的長為。
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與x軸有兩個交點A（x₁，0）、B（x₂，0），且點A在點B的左側，求線段AB的長；
（3）若以AB為直徑作⊙M，請你判斷直線CD與⊙M的位置關系，并說明理由。

Answer 1

（1）由題得C（0，3），設頂點D（x，y），∵點D在直線y=x+3上，∴D（x，x+3），得
解得
∴D（3，6）或（-3，0），當D（3，6）時，設拋物線為

∵拋物線過（0，3）點，∴
當（-3，0）時，同理可得
∴所求拋物線為：
（2）∵拋物線與x軸有兩個交點，y=不合題意，舍去。
拋物線應為：，
令y=0，得，
解得，
∵點A在B的左側，∴A（，0），B（，0），

（3）直線CD與⊙M相切，⊙M的半徑，M（3，0），
設直線y=x+3與x軸交于點E，則E（-3，0），ME=6，
∴OE=OC，
∴∠OEC=45°，
作MG⊥CD于G，則CE=CM，
得，，
即圓心M到直線CD的距離等于⊙M的半徑，
∴直線CD與⊙M相切