Question

如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）求sin∠E的值．

Answer 1

分析：（1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可；
（2）根據(jù)∠E=∠CBG，可以把求sin∠E的值得問題轉化為求sin∠CBG，進而轉化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問題．

解答：（1）證明：方法1：連接OD、CD．
∵BC是直徑，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC．
∴D是AB的中點．
∵O為CB的中點，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF．
∴EF是O的切線．
方法2：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．
即∠EDO=90°，
∴OD⊥ED
∴EF是O的切線．

（2）解：連BG．
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°．
∴CD=

AC2-AD2

=

102-62

=8．
∵AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，
∴BG=

AB•CD

AC

=

12×8

10

=

48

5

．
∴CG=

BC2-BG2

=

102-( 48 5 )2

=

14

5

．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴sin∠E=sin∠CBG=

CG

BC

=

14 5

10

=

7

25

．

點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．