Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c同時(shí)滿足下列條件：對(duì)稱軸是x=1；最值是15；二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的平方和為15-a，則b的值是（　�。�

• A、4或-30
• B、-30
• C、4
• D、6或-20

Answer 1

分析：由在x=1時(shí)取得最大值15，可設(shè)解析式為：y=a（x-1）²+15，只需求出a即可，又與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方和為15-a，可求出a，所以可求出解析式得到b的值．

解答：解：解法一：∵x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0，
∴由題可設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為（ 1-t，0），（ 1+t，0），其中t＞0，
∵兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和等于15-a即：（1-t）²+（1+t）²=15-a，
可得t=

13-a 2

，
由頂點(diǎn)為（1，15），
可設(shè)解析式為：y=a（x-1）²+15，
將（1-

13-a 2

，0）代入可得a=-2或a=15（不合題意，舍去）
∴y=-2（x-1）²+15=-2x²+4x+13，
∴b=4；
解法二：∵對(duì)稱軸是x=1，最值是15，
∴設(shè)y=ax²+bx+c=a（x-1）²+15，
∴y=ax²-2ax+15+a，
設(shè)方程ax²-2ax+15+a=0的兩個(gè)根是x₁，x₂，
則x₁+x₂=-

-2a

a

=2，x₁•x₂=

15+a

a

，
∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的平方和為15-a，
（x₁）²+（x₂）²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=15-a，
∴2²-

2(15+a)

a

=15-a，
a²-13a-30=0，
a₁=15（不合題意，舍去），a₂=-2，
∴y=-2（x-1）²+15=-2x²+4x+13；
∴b=4．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值及待定系數(shù)法求解析式，難度一般，關(guān)鍵算出a的值．