Question

【題目】如圖，在中， ，垂足為，過的⊙O分別與交于點，連接．

（1）求證：≌；

（2）當與⊙O相切時，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性質知AD=CD、∠1=∠C=45°，由∠EAF=90°知EF是⊙O的直徑，據(jù)此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”證明即可得；

（2）當BC與⊙O相切時，AD是直徑，根據(jù)∠C=45°、AC=可得AD=1，利用圓的面積公式可得答案．

詳解：（1）如圖，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=45°．

又∵AD⊥BC，AB=AC，∴∠1=∠BAC=45°，BD=CD，∠ADC=90°．

又∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=CD．

又∵∠EAF=90°，∴EF是⊙O的直徑，∴∠EDF=90°，∴∠2+∠4=90°．

又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE和△CDF中．

∵，∴△ADE≌△CDF（ASA）．

（2）當BC與⊙O相切時，AD是直徑．在Rt△ADC中，∠C=45°，AC=，∴sin∠C=，∴AD=ACsin∠C=1，∴⊙O的半徑為，∴⊙O的面積為．