Question

求證：四個(gè)連續(xù)自然的積與1之和必定是一個(gè)完全平方數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：完全平方數(shù)

專題：

分析：可設(shè)最小的自然數(shù)為n，則四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積加l，可以寫成n×（n+1）×（n+2）×（n+3）+1，再轉(zhuǎn)化為[n×（n+3）]×[（n+1）×（n+2）]+1=（n²+3n）（n²+3n+2）+1=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1=（n²+3n+1）²．從而得以證明．

解答：證明：設(shè)最小的自然數(shù)為n，則有
n×（n+1）×（n+2）×（n+3）+1
=[n×（n+3）]×[（n+1）×（n+2）]+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²．
故四個(gè)連續(xù)自然的積與1之和必定是一個(gè)完全平方數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方式，解題的關(guān)鍵是將n×（n+1）×（n+2）×（n+3）首尾相乘，整體思想將使式子轉(zhuǎn)化為完全平方式．