Question

已知如圖，直線y=

4

3

x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)N、M，菱形ABCD的各頂點(diǎn)分別在坐標(biāo)軸上，對角線交于原點(diǎn)O，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-3，0）．直線MN沿著y軸的負(fù)方向以每秒4個單位的速度勻速運(yùn)動，與此同時，菱形ABCD也沿著y軸的負(fù)方向以每秒1個單位的速度勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（秒），運(yùn)動后直線MN與x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q．
（1）直接寫出當(dāng)t=0.5時，P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）試探究：在整個運(yùn)動過程中，直線MN與菱形的邊有公共點(diǎn)的時間有多長？
（3）當(dāng)直線MN與菱形的邊有公共點(diǎn)時，以PQ為直徑的圓能否與菱形的邊AB所在直線相切？如能，求出此時t的值；如不能，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)平移的規(guī)律“上加下減”寫出直線PQ的解析式，根據(jù)解析式來求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直線MN與菱形的邊有公共點(diǎn)的時間段為：點(diǎn)Q與菱形ABCD的頂點(diǎn)A重合到點(diǎn)Q與頂點(diǎn)C重合這一時間段．此題為追擊問題．根據(jù)“點(diǎn)Q與點(diǎn)A、C的運(yùn)動時間相等”列出關(guān)于t的方程，通過方程來解答問題；
（3）分①當(dāng)Q在x軸上方；②當(dāng)Q在x軸下方；兩種情況討論可得以PQ為直徑的圓能與菱形的邊AB所在直線相切時t的值．

解答：解：（1）∵直線MN沿著y軸的負(fù)方向以每秒4個單位的速度勻速運(yùn)動，
∴t=0.5時，直線MN在y的負(fù)方向上移動的距離是：4×0.5=2．
則直線MN平移后的解析式為：y=

4

3

x+8-2=

4

3

x+6，即y=

4

3

x+6．
則當(dāng)x=0時，y=6．
當(dāng)y=0時，x=-

9

2

．
所以P（-

9

2

，0），Q（0，6）；

（2）∵直線MN的解析式為y=

4

3

x+8，
∴M（0，8），
又∵在菱形ABCD中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-4），
∴OA=4，OM=8，CM=12．
當(dāng)點(diǎn)Q與頂點(diǎn)A重合時，4t-t=4，
解得 t=

4

3

（秒）．
當(dāng)點(diǎn)Q與頂點(diǎn)C重合時，4t-t=12，
解得 t=4，
∴4-

4

3

=

8

3

（秒）
故直線MN與菱形的邊有公共點(diǎn)的時間有

8

3

秒；

（3）當(dāng)MN與菱形有交點(diǎn)，AQ=3t-4，
∵A（0，4），B（-3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∴sin∠BAO=

3

5

，
∴QE=

3

5

（3t-4），
①當(dāng)Q在x軸上方，
∵PO=6-3t，OQ=8-4t，
∴PQ=10-5t，
（10-5t）÷2=

3

5

（3t-4），
解得t=

74

43

；
②當(dāng)Q在x軸下方，
PQ=5t-10，
（5t-10）÷2=

3

5

（3t-4），
解得t=

26

7

．
綜上所述，t=

74

43

或

26

7

時，以PQ為直徑的圓能與菱形的邊AB所在直線相切．

點(diǎn)評：考查了一次函數(shù)綜合題，涉及了一次函數(shù)平移的規(guī)律，菱形的性質(zhì)，切線的判定及性質(zhì)及方程思想、分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．