Question

13．如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為2，連結(jié)AM、BM．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由；
（3）把拋物線與直線y=x的交點稱為拋物線的不動點．若將（1）中拋物線平移，使其頂點為（m，2m），當(dāng)m滿足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點．

Answer 1

分析 （1）由條件可分別求得A、B的坐標，設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）結(jié)合（1）中A、B、C的坐標，根據(jù)勾股定理可分別求得AB、AM、BM，可得到AB²+AM²=BM²，可判定△ABM為直角三角形；
（3）由條件可寫出平移后的拋物線的解析式，聯(lián)立y=x，可得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式可求得m的范圍．

解答 解：（1）∵A點為直線y=x+1與x軸的交點，
∴A（-1，0），
又B點橫坐標為2，代入y=x+1可求得y=3，
∴B（2，3），
∵拋物線頂點在y軸上，
∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+c，
把A、B兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+c=0}\\{4a+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-1；
（2）△ABM為直角三角形．理由如：
由（1）拋物線解析式為y=x²-1可知M點坐標為（0，-1），
∴AM=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，BM=$\sqrt{{2}^{2}+[3-（-1）]^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AM²+AB²=2+18=20=BM²，
∴△ABM為直角三角形；
（3）當(dāng)拋物線y=x²-1平移后頂點坐標為（m，2m）時，其解析式為y=（x-m）²+2m，即y=x²-2mx+m²+2m，
聯(lián)立y=x，可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+2m}\end{array}\right.$，消去y整理可得x²-（2m+1）x+m²+2m=0，
∵平移后的拋物線總有不動點，
∴方程x²-（2m+1）x+m²+2m=0總有實數(shù)根，
∴△≥0，即（2m+1）²-4（m²+2m）≥0，
解得m≤$\frac{1}{4}$，
即當(dāng)m≤$\frac{1}{4}$時，平移后的拋物線總有不動點．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知識點．在（1）中確定出A、B兩點的坐標是解題的關(guān)鍵，在（2）中分別求得AB、AM、BM的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出拋物線有不動點的條件是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較為基礎(chǔ)，難度適中．